Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ - 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 (1 - 2 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$1 (1 - 4) - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$1 \cdot - 3 - 2 | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 3 - 2 (- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$1 \cdot - 3 - 2 (- 2 - 1 \cdot 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 \cdot - 3 - 2 (- 2 - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 3.2.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 4 + 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 4 + 1 (- 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1)$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 4 + 1 (- 4 - 1 \cdot 1)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 4 + 1 (- 4 - 1)$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$1 \cdot - 3 - 2 \cdot - 4 + 1 \cdot - 5$

Этап 5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 - 2 \cdot - 4 + 1 \cdot - 5$

Этап 5.1.2

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$- 3 + 8 + 1 \cdot - 5$

Этап 5.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 3 + 8 - 5$

Этап 5.2

Добавим $- 3$ и $8$ .

$5 - 5$

Этап 5.3

Вычтем $5$ из $5$ .

$0$